Родился 16 января 1909 года
в селе Вахромеево ныне Икрянинского района Астраханской области.
Русский. С 14-и лет плавал кочегаром на судах Волго-Каспийского
пароходства.

В 1931 году окончил Бакинский морской техникум. Плавал штурманом, помощником капитана. В Военно-Морском Флоте с 1931 года.

В 1932 году окончил курсы командиров запаса Учебного отряда Морских Сил Чёрного Моря.

В 1933 году — специальные курсы командного состава. В 1936 году — отдел подготовки кадров командного состава учебного отряда подводного плавания (УОПП) имени С. М. Кирова в Ленинграде. Член ВКП(б)/КПСС с 1938 года.

Служил на Тихоокеанском флоте:

с декабря 1933 года по апрель 1935 года — командир штурманского сектора ПЛ «Щ-108»

с апреля до конца 1935 года — штурман 2-го дивизиона подводных лодок 2-й морской бригады

с марта 1936 года по август 1937 года — помощник командира ПЛ «Л-11»

с августа 1937 года по июль 1938 года — командир ПЛ «М-6», а затем до декабря 1939 года — командир ПЛ «Щ-116».

С декабря 1939 года проходил службу на Черноморском флоте, и до февраля 1940 года находился в распоряжении военного совета флота.

С февраля по июнь 1940 года исполнял должность командира.

В июне 1940 года стал командиром ПЛ "С-33", которая была принята от промышленности и вошла в состав Черноморского Флота в декабре 1940 года.

Участник обороны города-героя Севастополя и освобождения Крыма.

В 1941 -1944 годах командир "С-33" совершил 18 боевых походов на
коммуникации противника, а в мае - июне 1942 года, когда его подлодка
находилась в ремонте, Б.А. Алексеев в качестве обеспечивающего
командира на ПЛ "С-31" совершил два похода в Севастополь, доставив в
осажденный город боеприпасы и продовольствие, эвакуировал оттуда
раненых и больных.

С апреля по июнь 1943 года - командир по оперативной части бригады подводных лодок без сдачи дел командира ПЛ "С-33".

В 1943 - 1944 годах подлодка "С-33" осуществляла боевую деятельность
на коммуникациях противника между Севастополем и западными портами
Чёрного моря, а также у побережья Крыма с целью нарушения перевозок и
снабжения южной группы гитлеровских войск. В боевых походах командир ПЛ
активно вёл поиск вражеских конвоев, смело и решительно атакуя их,
несмотря на мощное противодействие противолодочных кораблей.

В послевоенные годы было установлено, что 20 апреля 1943 года подлодкой "С-33" под командованием Алексеева Б.А. был потоплен румынский транспорт "Сучава", водоизмещением 6876 брутто тонн.

22 сентября и 27 декабря 1943 года "С-33" потопила торпедами два транспорта противника водоизмещением 6000 тонн и 4000 тонн.

12 мая 1944 года
к юго-западу от мыса Сарыч Б.А. Алексеев обнаружил вражескую
быстроходную десантную баржу, находившуюся без хода, осмотрел её и
потопил артиллерийским огнём, предварительно сняв с неё кормовой флаг
военно-морского флота гитлеровской Германии.

Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 июля 1944 года
за образцовое выполнение заданий командования и проявленные мужество и
героизм в боях с немецко-фашистскими захватчиками капитану 2-го ранга
Алексееву Борису Андреевичу присвоено звание Героя Советского Союза с
вручением ордена Ленина и медали «Золотая Звезда» (№ 3812). Подводная
лодка «С-33» преобразована в гвардейскую.

С июня 1944 года по февраль 1946 года - командир 1-го дивизиона 1-й бригады подводных лодок Черноморского Флота.

ИЗ БОЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ Б.А. АЛЕКСЕЕВА 1944 ГОДА:

"Все боевые походы капитан 2 ранга Алексеев провёл в большом боевом
напряжении. Для достижения победы над врагом проявил большое мастерство
и настойчивость, невзирая на трудные условия во время атак и сильное
противодействие кораблей и самолётов охранения конвоев противника.
Неоднократно после атак при преследовании подлодки врагом успешно
выводил корабль из самых тяжёлых условий и оставался победителем".

13 марта 1945 года его понизили в воинском звании за катастрофу на ПЛ "ТС-2", но 18 апреля 1947 года он был восстановлен в звании капитана 2-го ранга.

С февраля до декабря 1946 года - начальник отделения подводного плавания отдела боевой подготовки штаба Черноморского Флота.

В 1949 году с отличием окончил Военно-морскую академию (ВМА) имени К.Е. Ворошилова.

16 мая 1949 года ему присвоено воинское звание "капитан 1-го ранга".

До августа 1955 года работал в должности старшего преподавателя кафедры подводных лодок в ВМА имени К.Е. Ворошилова.

C июня 1951 года - заместителем начальника этой же кафедры.

24 августа 1953 года - присвоена учёная степень "кандидат военно-морских наук".

6 марта 1954 года - учёное звание "доцент".

В августе-сентябре 1955 года
- находился в распоряжении Главного штаба ВМФ, после чего был назначен
старшим военным советником начальника ВМА, военным специалистом и
старшим группы специалистов в ВМА Народно-освободительной армии Китая.

По возвращении , с августа 1959 года до июня 1960 года - в распоряжении Главкома ВМФ, затем до января 1961 года - член Морского научно-технического комитета ВМФ СССР, а с января 1961 года до июня 1965 года - заместитель начальника Высших специальных офицерских классов ВМФ по учебной и научной работе.

С июня 1965 года до июня 1967 года - консультант начальника Высшего военно-морского училища в Объединенной Арабской Республике. Вернувшись из Египта, до декабря 1967 года был в распоряжении Главкома ВМФ СССР.

С декабря 1967 года - в запасе.

Жил в городе-герое Ленинграде (ныне Санкт-Петербург), где скончался 25 января 1972 года, похоронен на Серафимовском кладбище.